Question

如何理解实变函数中的上极限和下极限？

是否都是集列的交集，上极限是全部，下极限少一部分？请老师赐教！

Answer 1

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。

下极限函数是为判断函数下半连续性而引进的一个概念。设f(x)是定义在点集E上的扩充实值函数，若在闭包E内的点x的δ邻域与E的交内，函数f所取的值的下确界为m(x)，则m(x,δ)在δ趋于0时的极限称为f(x)沿E的下极限函数。

由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。

扩展资料：

当x0∈E，m(x0)=f(x0)时，即-f(x)在x0上半部分连续时，称f在x0处下半连续。当x0∈E，M(x0)=f(x0)时，称f在x0处上半连续。这两种情形统称为f在x0处半连续。

举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。

参考资料来源：百度百科-下极限函数

参考资料来源：百度百科-上极限

Answer 2

上下极限集中的元素都无穷次出现，但上极限集比下极限集范围大些，
相当于： 前者中的元素属于无限个集合，但同时也有可能“不”属于“无限个”集合，而后者中的元素属于无限个集合，同时只“不”属于“有限个”集合。
因此属于下极限集的元素必然属于上极限集。

Answer 3

设{An}是一串集合，上极限设为B，下极限设为C，则：
首先，B包含C
其次，某元素x属于B表示：存在无穷多个k，使得x属于Ank；
某元素x属于C表示：只存在有限个k，使得x不属于Ank；