Question

如图,P为△ABC的BC边垂直平分线上一点,且∠PBC=二分之一∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D，求证：BE=CD

如图,P为△ABC的BC边垂直平分线上一点,且∠PBC=二分之一∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D，求证：BE=CD
图可能发不上来，请务必在六点之前回答，谢谢！

Answer 1

因为PG垂直平分BC，
所以PB=PC，∠PBC=∠PCB=∠A/2
所以∠DPC=2∠PBC=∠A
又因为∠DCP=∠ECA
所以，∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC
所以△CEA∽△CDP
同理△BDA∽△BEP
因为，∠PBC=∠PCB
∠PGB=∠PGC=90°
所以，∠BPG=∠CPG
所以，∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE
又因为QP=QP，∠PQE=PQR
所以△QEP≌△QRP
所以∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC
又因为△CEA∽△CDP
所以∠AEC=∠CDP
所以∠CDP=∠DRC
所以CR=CD
因为BE=CR
所以BE=CD
可以参考下面的地址

Answer 2

PG垂直平分BC，
所以PB=PC，∠PBC=∠PCB=∠A/2
所以∠DPC=2∠PBC=∠A
又因为∠DCP=∠ECA
所以，∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC
所以△CEA∽△CDP
同理△BDA∽△BEP
因为，∠PBC=∠PCB
∠PGB=∠PGC=90°
所以，∠BPG=∠CPG
所以，∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE
又因为QP=QP，∠PQE=PQR
所以△QEP≌△QRP
所以∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC
又因为△CEA∽△CDP
所以∠AEC=∠CDP
所以∠CDP=∠DRC
所以CR=CD
因为BE=CR
所以BE=CD