Question

已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过圆点。

若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

假设存在
直线y=x+b
代入
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1+x2=-(b+1)=-b-1
x1x2=(b²+4b-4)/2
y=x+b
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+2b-4)/2

AB是直径，O在圆上
所以OA垂直OB
OA斜率y1/x1,OB是y2/x2
所以(y1/x1)(y2/x2)=-1
y1y2=-x1x2
(b²+2b-4)/2=-(b²+4b-4)/2
b²+3b-4=0
b=-4,b=1
所以是x-y-4=0和x-y+1=0

Answer 2

已知圆C：x^+y^-2x+4y-4=0, 是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？

设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立：
--->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0
--->xA+xB=-(t+1), xAxB=(t^+4t-4)/2
--->yAyB=(xA+t)(xB+t)=xAxB+t(xA+xB)+t^

AB是直径--->OA⊥OB--->k(OA)k(OB)=(yA/xA)(yB/xB)=-1--->yAyB+xAxB=0
--->2xAxB+t(xA+xB)+t^=0
--->(t^+4t-4)-t(t+1)+t^=t^+3t-4=(t-1)(t+4)=0--->t=1或t=-4

即：存在这样的直线L:y=x+1或y=x-4