Question

关于微分中高阶无穷小的问题

微分的定义中说：当@X（用@代替三角）无限小的时候 dy就可以约等于@y。
为什么这样说呢 当x的增量无限小的时候 dy不也是无限小吗 真的要近似 也应该是@y近似于0啊
另外为什么定义中一定要选高阶无穷小呢?而且只有在极限的情况下才有“无穷小”的说法吧？可那里只是一个函数啊 怎么能用无穷小的概念呢
求解
什么无穷小的极限是0 那个根本不是在极限里！

Answer 1

"当x的增量无限小的时候 dy不也是无限小吗"

不一定。如果一个函数是不连续的，就不成立。
如有这样一个函数
y=1/x (x不等于零)
y=0 （x等于零）

对于上述的函数，在x=0处的增量无限小的时候，y的增量是无限大。

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△y=H△x+o(△x)【o(△x)表示△x的高阶无穷小，H为与△x无关的常数】
其中H△x为dy，即△x在某个点的微分。

如果△y=H△x+o(△x)中的o(△x)不是△x的高阶无穷小，而是等价无穷小，
那么△y可以等于H△x+M△x=(H+M)△x,【M与△x无关的常数】
这样当△x无限小的时候，△y不等于H△x，而是(H+M)△x，那么dy就不约等于
△y了。

很显然，如果是低阶无穷小的话，dy也不约等于△y了。

Answer 2

你的问题有些表述不够清晰，我先回答一些，还有问题可以HI我。

首先纠正无穷小和无穷大的概念。正无穷和负无穷都是无穷大，只有趋近于0时才是无穷小。所以△X无限小是趋近于0而不是趋近于负无穷。

另外为什么定义中一定要选高阶无穷小呢?
上面这句话中的定义是什么定义？你没指出来。高阶无穷小和无穷小不是一个概念啊。高阶无穷小是两个函数相对而言的，无穷小是一个函数在自变量趋近某个数时函数值趋近于0的过程。

Answer 3

你为什么要把无穷小和极限看作一回事！？无穷小不一定在极限中存在，你要明白一句话，无穷小的极限是0，这就是他俩的关系