Question

三道高一数学题，亲们帮个忙啊~（要详细过程，谢谢）

1.在三角形ABC中，若a^2,b^2,c^2成等差数列，试判断1/tanA,1/tanB,1/tanC是否成等差数列？并说明理由。
2.已知数列{an}的前m项（m为大于1的常数）满足a1/(a1+1)=a2/(a2+3)=a3/(a3+5)=...=am/(am+2m-1),且a1+a2+...+am=8,求a1
3.等比数列{an}中，公比q=2,log2底a1+log2底a2+log2底a3+...+log2底a10=25,则a1+a2+...+a10=?

Answer 1

第一题：
1/tanA，1/tanB，1/tanC成等差数列。证明如下：
1) 根据余弦定理有b^2=a^2+c^2-2accosB，根据题意2b^2=a^2+c^2，代入得b^2=2accosB
2) 根据正弦定理有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R是外接圆半径），代入得(sinB)^2=2sinAsinCcosB
3) 两边同时除以sinAsinCsinB有sinB/(sinAsinC)=2cosB/sinB，将sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入即有(cosA/sinA)+(cosC/sinC)=2cosB/sinB，即(1/tanA)+(1/tanC)=2/tanB

第二题：
a1=8/m^2
1) 假设ai/(ai+2i-1)=k（i=1，2，...m），那么ai=(2i-1)/[(1/k)-1]
2) 于是a1+a2+...+am=[1+3+...(2m-1)]/[(1/k)-1]=m^2/[(1/k)-1]
3) 根据m^2/[(1/k)-1]=8可知a1=1/[(1/k)-1]=8/m^2

第二题：
a1+a2+...+a10=1023/4
1) log(2)a1+log(2)a2+...+log(2)a10=25可知a1*a2*...*a10=2^25
2) 由{an}是等比数列并且q=2，于是a1*a2*...*a10=a1^10*2^45，代入1)得a1^10=2^(-20)，于是a1=1/4（注意a1>0)
3) 从而a1+a2+...+a10=a1*(q^10-1)/(q-1)=(1/4)*1023=1023/4

Answer 2

第一题：
1/tanA，1/tanB，1/tanC成等差数列。证明如下：
1) 根据余弦定理有b^2=a^2+c^2-2accosB，根据题意2b^2=a^2+c^2，代入得b^2=2accosB
2) 根据正弦定理有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R是外接圆半径），代入得(sinB)^2=2sinAsinCcosB
3) 两边同时除以sinAsinCsinB有sinB/(sinAsinC)=2cosB/sinB，将sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入即有(cosA/sinA)+(cosC/sinC)=2cosB/sinB，即(1/tanA)+(1/tanC)=2/tanB

第二题：
a1=8/m^2
1) 假设ai/(ai+2i-1)=k（i=1，2，...m），那么ai=(2i-1)/[(1/k)-1]
2) 于是a1+a2+...+am=[1+3+...(2m-1)]/[(1/k)-1]=m^2/[(1/k)-1]
3) 根据m^2/[(1/k)-1]=8可知a1=1/[(1/k)-1]=8/m^2

第二题：
a1+a2+...+a10=1023/4
1) log(2)a1+log(2)a2+...+log(2)a10=25可知a1*a2*...*a10=2^25
2) 由{an}是等比数列并且q=2，于是a1*a2*...*a10=a1^10*2^45，代入1)得a1^10=2^(-20)，于是a1=1/4（注意a1>0)
3) 从而a1+a2+...+a10=a1*(q^10-1)/(q-1)=(1/4)*1023=1023/4
记住 对数一定要转化 高中无法接超越陈的