Question

求极限[(1+nx)^(1/m)+(1+mx)^(1/n)]/x,x->0,其中m,n为正整数

如题,计算lim [(1+nx)^(1/m)+(1+mx)^(1/n)]/x = ?
其中x->0, m,n为正整数
这道习题出现在教材中刚介绍函数极限的一节,请不要用洛必达法则
题目中两项之间的确是减号.级数展开是更后边的内容吧,有没有更"初级"点的办法?

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Answer 1

若不用级数展开，也有其它办法。学过幂函数的导数没有？如果学过，令：
y=(1+nx)^(1/m)-(1+mx)^(1/n)
求y在x=0的导数，结果就是你的题目的答案。
下面是用级数展开法求极限：
（题目分子中的两项间可能是减号而不是加号。若是加号，极限就是无穷大了。若是减号，这就是一个0/0型极限。如不要用洛必达法则，用级数展开法也很简单。）
级数(1+x)^n可展开为：1+nx+...。因此当x趋近于0时：
lim [(1+nx)^(1/m)-(1+mx)^(1/n)]/x
=lim [(1+nx/m)-(1+mx/n)]/x
=lim [(nx/m)-（mx/n)]/x
=(n/m)-（m/n)=(n-m)(n+m)/(nm)