Question

数学问题 简单的...

证明：当n为大于2的整数时，
n^5 -5n^3 +4n能被120整除。

Answer 1

n^5 -5n^3 +4n
=n(n^4-5n²+4)
=n(n²-4)(n²-1)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
当n为大于2的整数时,上式为连续5个正整数之积
连续5个正整数中必有一个是5的倍数,至少有一个是4的倍数,至少有一个是3的倍数.且至少有两个偶数,即除去4的倍数外还有2的倍数
2*3*4*5=120
所以,连续5个正整数之积必能被120整除,
即n^5 -5n^3 +4n能被120整除。

Answer 2

证明：当n为大于2的整数时，n5-5n3+4n能被120整除
n5-5n3+4n
=n(n^4-5n²+4)
=n(n²-1)(n²-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)
当n为大于2的整数时，n5-5n3+4n=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)是5个连续正整数的积能被120整除

当n为大于2的整数时，(n-2)，(n-1)，n，(n+1)，(n+2)是五个连续整数，其中必有 2,3,4,5的倍数，所以

(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)是2×3×4×5=120的倍数，即能被120整除，也就是n^5-5n³+4n能被120整除

Answer 3

n^5 -5n^3 +4n
=n(n^4 -5n^2 +4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)

当n为大于2的整数
最小的n-2>0
所以n^5 -5n^3 +4n为五个联系正整数的积，所以分别是2、3、4、5的倍数
所以 n^5 -5n^3 +4n能被120整除

Answer 4

原式 = (n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)

连续的5个正整数中，有一个可以被5整除
同理，则原式可被4,3整除
除了可以被4整除的那个数以外，剩下的四个数中有偶数

所以，原式可以被120整除。

Answer 5

n^5 -5n^3 +4n
=n(n^4 -5n^2 +4)
=n(n^2 -1)(n^2 -4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
n>2时
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)中存在能被2,3,4,5整除的数
2*3*4*5=120
所以能被120整除