Question

已知cos(α-β/2)= -4/5,sin(β-α/2)=5/13,且π/2<α<π,0<β<π/2,求cos[(α+β)/2]

已知cos(α-β/2)= -4/5,sin(β-α/2)=5/13,且π/2<α<π,0<β<π/2,求cos[(α+β)/2]

Answer 1

π/2<α<π
0<β<π/2，即-π/4<β/2<0
所以π/4<α-β/2<π
所以sin （α-β/2）>0
因为sin²(α-β/2)+cos²α-β/2)=1
所以sin(α-β/2)=3/5

π/2<α<π
所以-π/2<-α/2<-π/4
0<β<π/2
所以-π/2<β-α/2<π/4
所以cos(β-α/2)>0
因为sin²(β-α/2)+cos²(β-α/2)=1
所以cos(α-β/2)=12/13

所以原式=cos[(α-β/2)+(β-α/2)]
=cos(α-β/2)cos(β-α/2)-sin(α-β/2)sin(β-α/2)
=-63/65

Answer 2

为了方便，α，β，π用a,b,pi表示

因为pi/2<a<pi，所以-pi<-a<-pi/2

所以-pi/2<-a/2<-pi/4

同理，因为0<b<pi/2，所以-pi/2<-b<0

所以-pi/4<-b/2<0

所以pi/4<a-b/2<pi
-pi/2<b-a/2<pi/4

又因为cos(a-b/2)<0,sin(b-a/2)>0

所以继续缩小范围

最后得到pi/2<a-b/2<pi,0<b-a/2<pi/4

所以sin(a-b/2)=3/5
cos(b-a/2)=12/13

所以cos[(a+b)/2]=cos[(a-b/2)+(b-a/2)]=cos(a-b/2)cos(b-a/2)-sin(a-b/2)sin(b-a/2)

对号入座，别带错了

最后答案是-63/65

Answer 3

∵π/2<α<π,0<β<π/2，∴π/4<α-β/2<π, -π/2<β-α/2<0,
sin(α-β/2)= 3/5, cos(β-α/2)=12/13,
cos[(α+β)/2] = cos[(α-β/2)+ (β-α/2)] = cos(α-β/2) cos(β-α/2)
- sin(α-β/2) sin(β-α/2)=-56/65.