Question

定点A（0，1）B（0，-1）C（1，0），动点P满足：向量AP乘以向量BP=K（向量PC的平方）

求（1）求P的轨迹，并说明方程表示的曲线类型
（2）当K=2时，求｜2（向量AP）+向量BP｜的最值

Answer 1

设P(x,y)
由：向量AP 点乘 向量BP = K，K=(向量PC)²
得：(x,y-1)(x,y+1)=(1-x,-y)²===>x²+y²-1=(1-x)²+y²
化简得：x=1，即动点P的方程。动点P是直线（过(1,0)点，平行于y轴）

2.K=2时：x²+y²-1=2====>x²+y²=3
此时，动点P轨迹是圆，圆心在坐标原点，半径√3。
同时可得到x,y此时的定义域，都是(-√3,√3)。

目标函数f
=|2(向量AP)+向量BP|
=|2(x,y-1)+(x,y+1)|
=|(3x,3y-1)|
=√(9x²+9y²+1-6y)
=√(27+1-6y) …… …… x²+y²=3代入
=√(28-6y)

所以此函数f的单调性仅跟变量y相关，是关于y的减函数。
当y=√3时，f有最小值，f=√(28-6√3)
当y=-√3时，f有最大值，f=√(28+6√3)