Question

怎样求二次函数解析式?

详细一点的,最好有例题,谢谢!~

Answer 1

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a
，b
，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a
，b
，c
的方程，联立求解，再把求出的a
，b
，c
的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.
巧取交点式法
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)x1，x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.
典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1
，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.
析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，
即y=2x2+2x-4.
典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.
例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4
.求二次函数的解析式.
思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.
顶点式的妙处
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数
顶点式.
例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(
1，10)，求此二次函数的解析式.
析解∵顶点坐标为(-1，-2)，
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2
(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=
-b2a时，y有最小
值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标
，同样也可以求出顶点式.
例4
已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析
式.
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，
-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).
∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,
解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.
典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.
例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)
典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.
例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3
个单位,
再向下平移2
个单位,
所得图像的解析式是y=x2-3x+5,
则函数的解析式为_______.
析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,
即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3
个单位,
再向下平移2
个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

Answer 2

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a
，b
，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a
，b
，c
的方程，联立求解，再把求出的a
，b
，c
的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.
巧取交点式法
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)x1，x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.
典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1
，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.
析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，
即y=2x2+2x-4.
典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.
例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4
.求二次函数的解析式.
思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.
顶点式的妙处
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数
顶点式.
例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(
1，10)，求此二次函数的解析式.
析解∵顶点坐标为(-1，-2)，
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2
(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=
-b2a时，y有最小
值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标
，同样也可以求出顶点式.
例4
已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析
式.
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，
-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).
∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,
解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.
典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.
例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)
典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.
例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3
个单位,
再向下平移2
个单位,
所得图像的解析式是y=x2-3x+5,
则函数的解析式为_______.
析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,
即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3
个单位,
再向下平移2
个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

Answer 3

二次函数一般形式:y=ax2+bx+c
(已知任意三点)
顶点式:y=a(x+d)2+h
(已知顶点和任意除顶点以外的点)
有的版本教材也注
原理相同
例:已知某二次函数图像顶点(-2，1)且经过(1,0)，求二次函数解析式
解:设y=a(x+2)2+1
注意:y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标
由于
二次函数图像过点(1，0)
因此
a*3的平方+1=0
解得a=-1/9
所以所求作二次函数解析式为
y=-1/9(x+2)2+1
(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式)
两根式:已知函数图像与x轴两交点与另外一点
首先必须有交点(b2-4ac>0)
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是图像与x轴两交点
并且是ax2+bx+c=0的两根
如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点
利用根与系数的关系
例:y=x2+4x+3与x轴的一个交点是(-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标
解:由根与系数的关系得:
x1+x2=-b/a=-4
则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3
所以与x轴的另一交点坐标为(-3,0)
另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得
y=a(x-2)2+b(x-2)+c
再向下平移2个单位得:y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2
记住:“左加右减
上加下减”

Answer 4

（1）简单的二次函数解析式：y=ax²（a≠0)
根据
顶点（x,y)，对称轴(x=m)，最大/小值(y=4ac-b²/4a）
来求值
（2）y=ax²+bx+c(a≠0)
根据
顶点(-b/2a,4ac-b²/4a)，对称轴(x=m)，最大/小值(y=4ac-b²/4a）,
来求值
(3)y=a(x-h)²与y=ax²的图像相同，但位置不同，顶点（h,0)
对称轴x=h

Answer 5

一般式
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a
，b
，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a
，b
，c
的方程，联立求解，再把求出的a
，b
，c
的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．
顶点式
顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简
洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用
顶点式方便．
交点式法
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)
（a≠0）x1，x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．
用的多就会了
新年快乐