Question

物理：关于平衡的题目

如图，将一边长为2a的立方体匀质木块放在一半径为R的水平放置的圆柱体的顶部，欲使平衡为稳定平衡，试求R与a的关系。（假定摩擦足以阻止立方体在柱面上滑动）
图

Answer 1

由于滚动摩擦相对滑动摩擦来说，几乎为零，所以当这个平衡不稳定的时候，就是木块和圆柱之间‘滚动’的情形。所谓滚动，就是木块和圆柱之间相对运动之后，接触点之间的路程相等，就是说，如果发生一个小运动，木块向左或者向右偏了一个小的角度θ之后，新接触点在木块上相对旧接触点的直线距离，等于新接触点在圆柱上相对原接触点的弧长。
如果发生了这个小运动之后，木块的重心降低了，那这个平衡就不稳定，如果升高了，就稳定。
剩下的就是几何问题了。
好好地画一下图，记得新接触点离底边中点的距离是弧长rθ，就可以看出新的重心高度是(rθ)sinθ+(r+a)cosθ. 接下来的步骤，以我的能力，不得不用导数了。如果高中生没有学过导数，极限也可以，如果极限也没有学过，我不知道该怎么做了。其实可以做出来，不过本质上是用了极限的思想。

导数法：
把重心高度对θ求导，如果这个导数当θ>0时<0, 说明角度越大，重心越低，自然，这是个不稳定平衡。求导：h'(θ)=rθcosθ-asinθ，稳定条件，h'(θ>=0)>0，即：r>=a.

极限法：
如果你学过极限，θ趋向于零的时候，sinθ=θ, cosθ=1-θ^2/2，即使没有学过，也应该知道前一个，这是单摆里用到的，后一个现在告诉你，就这么用吧，反正不会错。稳定的时候，要让重心高度>=原重心高度(a+r)，即:
rθsinθ+(r+a)cosθ>=a+r
rθ^2+(r+a)(1-θ^2/2)>=a+r
得到 r>=a

这个没有微积分基础或许能做出来，但是前提是你自己想通了微积分的一些东西，换句话说，我不认为可以不用任何微积分方法做出来。

Answer 2

擦。高中的题目吗？

高手求解

请告诉我是竞赛题、、