Question

设各项了均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1,且（S（n+1）+λ）an=（Sn+1）a（n+1）

对一切n∈N^*都成立。①若λ=1求数列an的通项公式②求λ的值。使数列an是等差数列

Answer 1

（1）若λ=1，则（S（n+1）+λ）an=（Sn+1）a（n+1）两边除以ana（n+1）得
S（n+1）/a（n+1）+1/a（n+1）=Sn/an+1/an
∴Sn/an+1/an，是常数列。Sn/an+1/an=2
解得，Sn=2an-1，∴an=2^（n-1）
（2）a1=1，
n=1代入已知，得a2=1+λ
n=2代入已知，得a3=（1+λ）²
由an是等差数列。∴2a2=a1+a3，得λ=0

而当λ=0时，S（n+1）an=（Sn+1）a（n+1）两边除以ana（n+1）得，
S（n+1）/a（n+1）=Sn/an+1/an，
能满足an=1是等差数列。
所以λ=0。

追问

能满足an=1是等差数列这句话不太懂什么意思

追答

当λ=0时，a1=a2=a3=1.进而可以求出，此时的数列通项公式为an=1.
后面我写的是等差数列，指的是满足了题目要求。
这样做的原因是，我求λ的时候，只满足了a1，a2，a3成等差数列。求完了要反过来验证，an是等差数列。

追问

  由这一步怎么得出an是等差数列的？后面的化简过程可以详细写一下么。麻烦您了。

追答

归纳法。假设an前k项为1，则由S（k+1）/a（k+1）=Sk/ak+1/ak，得
[ k+a（k+1）]/a（k+1）=k/1+1/1=k+1
所以a（k+1）=k+1.

Answer 2