Question

数列极限问题

无穷等比数列an的前n项和为sn，则数列an有极限是数列sn有极限的什么条件

Answer 1

设等比数列 a(n) 的公比是q ；a(1)和q不等于0 ；
a(n) = a(1) * q^(n-1) ；
S(n) = a(1) * (1-q^n) / (1-q) ；
当 n 趋于正无穷时，如果 a(n) 有极限，即
a(1) * q^(n-1) 极限存在，那么 0<|q|<1 ，这样
S(n) = a(1) * (1-q^n) / (1-q) 极限存在，极限为 a(1)/(1-q) ；
即 数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的充分条件；
另一方面，当 n 趋于正无穷时，如果 S(n) 有极限，即
S(n) = a(1) * (1-q^n) / (1-q) 极限存在，那么 0<|q|<1 ；
如果 0<q<1 ，a(n) = a(1) * q^(n-1) 极限自然存在，极限为 0 ；
如果 -1<q<0 ，a(n) = a(1) * q^(n-1) = a(1) * (-1)^(n-1) * (-q)^(n-1) 极限存在，极限为 0 ；
所以当 0<|q|<1 时数列 a(n) 极限存在；
即 数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的必要条件；
综上所述，数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的充分必要条件。
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