Question

求a,b的值,使limx→无穷[(x^2+1)/(x+1)-ax-b]=0。我的思路如下，请大神帮我指出错误。谢谢！

我思路是x趋于无穷，所以分数部分化简成x,式子变成x-ax-b,于是乎1-a=0,-b=0,解出a=1,b=0。可是答案是a=1,b=-1。请问我错在哪？

Answer 1

分数部分不可以单独先化成x
你的思路等于是
lim (A + B) = (lim A ) + B
不能只考虑把分数部分的A取极限，而同样含有x的B部分不取极限
极限加法分解，必须是这样：
lim (A + B) = (lim A ) + (lim B)
你的方法不适用，因为B = -ax-b 在x->无穷的时候不存在极限

这道题的解法是，把B部分通分，加到分子上去，分母不变，分子变成：
(1-a)x^2 -(a+b)x + (1-b)
分母还是
x+1
为了让x趋于无穷的时候极限为0，
必须让分子的二次项系数为0（否则就趋于无穷了）
还必须让分子的一次项系数为0 (否则就趋于 a+b了 )
于是得到a=1, b=-1

Answer 2

无穷小还是无穷大