Question

请问这个题用Matlab怎么解决（怎么表述）？

Answer 1

其实就是对矩阵进行特征分解（谱分解）。

 

任何实对称矩阵A都可以分解为

    A = VDV'

其中V为正交矩阵，D为对角矩阵。表示成特征向量和特征值的形式即为

    A = [v1 v2 ... vn] * diag(λ1 λ2 ... λn] * [v1'; v2'; ...vn'] = Σ λi*vi*vi'

也就是题中要求的形式。

 

MATLAB的eig函数可用于求V和D，矩阵V的每一列就是题中的vj，D对角线上的元素就是λj。

 

举例如下：

A=rand(10,10);    % 生成随机矩阵
A=A+A'         % 对称矩阵
[V,D]=eig(A)   % 特征分解
S=0;for i=1:length(D),S=S+D(i,i)*V(:,i)*V(:,i)';end
norm(S-A)    % 分解的求和式与原矩阵的误差