Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，写出点P的坐标；

可以详细的写出过程解法么？答案是【符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.】
还有一个0,1/3 【最好用初三知识解释】

Answer 1

y = a(x + 1)(x - 3)

x = 0, y = -3a = -3, a = 1
y = (x + 1)(x - 3) = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4
D(1, 4)
BC的斜率为p = (0 + 3)/(3 - 0) = 1
CD的斜率为q = (-4 + 3)/(1 - 0) = -1
pq = -1, ∠BCD为直角。
BC = 3√2, CD = √2
tan∠BDC = BC/CD = 3

(1) 假定P为直角, 显然∠AOC为直角，tan∠OAC = OC/AO = 3, AOC与DCB相似，此时P与O重合，P(0, 0)
(2) 假定A为直角，P在y轴上, P(0, p)
AC的斜率为-3, 则AP的斜率为1/3, AP的方程为y = (x + 1)/3
x = 0, y = 1/3, P(0, 1/3)
AP = √10/3, AC = √10, tan∠APC = AC/AP = 3, PAC与DCB相似

(3)假定C为直角，P在x轴上, P(p, 0)
AC的斜率为-3, 则PC的斜率为1/3, PC的方程为y = x/3 - 3
y = 0, x = 9, P(9, 0)
CP = 3√10, AC = √10, tan∠PAC = CP/CA = 3
ACP与DCB相似

不清楚初三学过什么，没学过什么。没学过斜率的话，求三边的长就是。