Question

已知函数f(x)=4^x+a×2^x+3,a∈R

要详解，求步骤。谢谢。

Answer 1

答：
1）a=-4时：
f(x)=4^x-4*2^x+3
=(2^x)^2-4*2^x+3
=(2^x-2)^2-1
0<=x<=2，1<=2^x<=4
-1<=2^x-2<=2，0<=(2^x-2)^2<=4
所以：0-1<=f(x)<=4-1
所以：f(x)的值域为[-1,3]

2）
f(x)=4^x+a*2^x+3=0在x>0时存在两个不相等是实数根
a=-(4^x+3)/2^x=-(2^x+3/2^x)<=-2√[(2^x)*(3/2^x)]=-2√3
当且仅当2^x=3/2^x即2^x=√3时取得最大值-2√3
因此存在两个不同的实数根，则x不能取得上述最大值处的x
即-(2^x+3/2^x)不应该取得最大值-2√3
所以：a<-2√3

追问

那么怎么样才能确保这两个解一定在（0，+∞）上呢？

追答

对啊，忘记了这个，补充解答如下：
x>0时，2^x>1
a=-(4^x+3)/2^x=-(2^x+3/2^x)√3时，2^x+3/2^x是单调递增函数
令2^x=1代入得：1+3/1=4
所以：a=-(2^x+3/2^x)存在两个不同的实数解时需要满足-4<a<-2√3