Question

设数列{an}中，a=1,对所有的n≥2，都有a1*a2……*an=n²

设数列{an}中，a=1,对所有的n≥2，都有a1*a2……*an=n²
（1）256/225是该数列的第几项？（2）试比较an与a（n+1）的大小

Answer 1

a(n+1)=(n+1)^2/a1*a2*...*an
=(n+1)^2/n^2
=((n+1)/n)^2
an=n^2/a1*a2*...*a(n-1)
=n^2/(n-1)^2
=(n/(n-1))^2

(1)
256/225=16^2/15^2
n=16
(2)
a(n+1)/an=(((n+1)/n)/(n/(n-1)))^2
=((n^2-1)/n^2)^2<1
a(n+1)<an

Answer 2

1.
n>=2时，
A1×A2×……×A(n-1)=(n-1)^2
An=(n/(n-1))^2
(n/(n-1))^2=256/225=(16/15)^2
n=16

2.
A2=(2/1)^2=4>A1=1
n>=2时
A(n+1)=((n+1)/n)^2
n^2>n^2-1=(n+1)(n-1)
n^4>(n-1)^2×(n+1)^2
(n/(n-1))^2>((n+1)/n)^2
An>A(n+1)
所以n>=2时，An>A(n+1)
n=1时，A1<A2