Question

求教数学大神一道变态的数列题…大概高中水平

给定一个“种子”数c,定义一个如下的数列:b1=c, b2=c-1/c, b3=c-1/(c-1/c)

当b1=c时通项公式是bn+1=c-1/bn
用计算器算出当c分别是3和3/2时数列的前几项
c = 3时，
b1 = 3 = 3.000
b2 = 8/3 2.667
b3 = 21/8 2.625
b4 = 55/21 2.619
b5 = 144/55 2.618
c=3/2时，
b1 = 3/2 = 1.500
b2 = 5/6 0.883
b3 = 3/10 0.330
b4 = -11/6 -1.883
b5 =45/22 2.045
当c=3时，数列bn似乎每项都是正的，而数值逐渐递减。这个数列稳定在n>12时，此时bn2.618033989
当c=3/2=1.5时，数列bn并不总是正的，不逐渐递减，好像也没有稳定的时候。
进一步的试验证明第一张情况在c2时发生，第二种情况在c时发生
问：如果c2，数列bn一定递减？一定总是正？
如果c，数列bn一定包含负的项？
请证明你的结论
注：单纯的数学计算不能成为证明

我是翻译的一道英文题，若有不清楚的欢迎问~
后面被吞了些符号，补上：
当c=3时，数列bn似乎每项都是正的，而数值逐渐递减。这个数列稳定在n>12时，此时bn约为2.618033989
当c=3/2=1.5时，数列bn并不总是正的，不逐渐递减，好像也没有稳定的时候。
进一步的试验证明第一张情况在c>=2时发生，第二种情况在c<2时发生
问：如果c>=2，数列bn一定递减？一定总是正？
如果c<2，数列bn一定包含负的项？

求较完整的过程~~

Answer 1

如果bn=c-1/b(n-1)>b(n-1)>0,则c>1/b(n-1)+b(n-1)>=2
所以如果c>2,b1=c>2,b2=c-1/c>3/2,b3=c-1/b2>4/3,b4=c-1/b3>5/4,...则bn>(n+1)/n>1
假设bn>(n+1)/n成立，则b(n+1)=c-1/bn>2-n/(n+1)=(n+2)/(n+1)>1
所以如果c>2,bn=c-1/b(n-1),则bn>(n+1)/n>1成立.
bn>b(n+1)可能也可以用归纳法证明

Answer 2

你奶奶个孙子