Question

三角形ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2AB向量*AC向量＝a^2-(b+c)^2

三角形ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2AB向量*AC向量＝a^2-(b+c)^2 若a=4根号3，三角形ABC面积为4根号3，求b，c

Answer 1

解：大写字母表示向量, 2AB向量*AC向量=2AB*AC=2cbcos<AB,AC>=2bccosA=b^2+c^2-a^2
2AB向量*AC向量＝a^2-(b+c)^2 ===>b^2+c^2-a^2=a^2-(b+c)^2 ===>b^2+c^2+(b+c)^2=2a^2
===>b^2+c^2+b^2+c^2+2bc=2a^2===>-bc=(b^2+c^2-a^2)===>cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2
0<A<pai， 所以 A=120度===》sinA=根号3/2
三角形ABC面积为4根号3===>S=4根号3=1/2*bc*sinA=根号3/4*bc===>bc=16 .......(1)
又 -bc=(b^2+c^2-a^2)，a=4根号3==>16=b^2+c^2-48===>b^2+c^2=32==>b^2+c^2+2bc=32+2bc===》(b+c)^2=64===>b+c=8..............(2)
(1),(2)联解,得 b=c=4.

Answer 2

2AB向量*AC向量＝2bc*cosA=a^2-(b+c)^2=a^2-b^2-c^2-2bc,即2bc(cosA-1)=a^2-b^2-c^2,两边同时除以2bc,得cosA-1=-cosA,cosA=1/2,再用余弦定理和面积列两个关于bc的方程就可以解b=c=4