Question

设等差数列{an}的前n相和为Sn,若a1<0,S2015=0

设等差数列{an}的前n相和为Sn,若a1<0,S2015=0
①.求Sn的最小值及此时n的值；
②.求n的取值集合，使an≥Sn.

Answer 1

(1)等差数列{an}的前n相和为Sn,S2015=2015a1008=0,
∴a1008=a1+1007d=0,a1<0,
∴公差d=-a1/1007>0,a1009>0,
∴在Sn中，S1007=S1008=1008(a1+a1008)/2=504a1为最小，n=1007或1008.
(2)an=a1-a1(n-1)/1007=a1(1008-n)/1007,
Sn=n[a1+a1(1008-n)/1007]/2<=a1(1008-n)/1007,a1<0,
∴n(2015-n)>=2(1008-n),
整理得n^2-2017n+2016<=0,
∴{n|1<=n<=2016,n∈N+},为所求.

Answer 2

(1)等差数列{an}的前n相和为Sn,S2015=2015a1008=0,
∴a1008=a1+1007d=0,a1<0,
∴公差d=-a1/1007>0,a1009>0,
∴在Sn中，S1007=S1008=1008(a1+a1008)/2=504a1为最小，n=1007或1008.
(2)an=a1-a1(n-1)/1007=a1(1008-n)/1007,
Sn=n[a1+a1(1008-n)/1007]/2<=a1(1008-n)/1007,a1<0,
∴n(2015-n)>=2(1008-n),
整理得n^2-2017n+2016<=0,
∴{n|1<=n<=2016,n∈N+},为所求.