Question

数学16：已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，tanA=根号2/2，若(cosB/sinC)×向量AB+(cosC/sinB)×向量AC=

2m×向量AO，则m=（ ）。
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

tanA=√2/2，∴sinA=√3/3，
O是锐角三角形ABC的外心，
∴向量AB*AO=(1/2)AB^2=c^2/2,同理AC*AO=b^2/2
已知式两边都乘以向量AO,得cosB/sinC*c^2/2+cosC/sinB*b^2/2=2mAO^2,
由正弦定理，b=2|AO|sinB,c=2|AO|sinC,
∴m=cosBsinc+sinBcosC=sin(B+C)=sinA=√3/3.

追问

向量AB*AO=(1/2)AB^2=c^2/2这一步没有看懂。

追答

作OM⊥AB于M,则AM=MB=AB/2，
向量AB*AO=AB*AM=(1/2)AB^2.

Answer 2

设AB中点为D，AB*AO=AB*AO*cosOAD=AB*AO*sinAOD=AB*AO*sinACB=C*R*(C/2R)=(1/2)=c^2/2