Question

x+y+z+x^2+y^2+z^2=6 求证x^2*y + y^2*z + z^2*x小于等于3.

O(∩_∩)O谢谢！
困惑了好久

PS：老师看见了不要骂我%>_<%

Answer 1

手感生疏了。我大体讲下。
x+y+z+x^2+y^2+z^2=6推出（x+½）²+（y+½）²+（z+½）²=27/4.
令x+½=u y+½=v z+½=w
则x^2*y + y^2*z + z^2*x为
u²v-uv+1/4v-1/2u²+1/2u-1/8+……
=u²v+v²w+w²u-uv-vw-wu+3/4(u+v+w)-30/8
=u²v+v²w+w²u-uv-vw-wu+u²+v²+w²-27/4-30/8+3/4(u+v+w)
=u²v+v²w+w²u-1/2[(u-v)²+(v-w)²+(w-u)²]+3/4(u+v+w)
有∵（u²+v²+w²）/3≥(u+v+w)²/9
∴u+v+w≤9/2
∴原式≤u²v+v²w+w²u-uv-vw-wu-3/8-1/2[(u-v)²+(v-w)²+(w-u)²]-27/4
附注:当u=v=w时等号成立.
又∵(u-v)²+(v-w)²+(w-u)²≥0
∴原式≤u²v+v²w+w²u-57/8
附注:当u=v=w时等号成立.
其实到这里只要证明在u²+v²+w²=27/4的条件下u²v+v²w+w²u≤81/8且当u=v=w时等号成立。接着就可以推出原命题。
然后这道题确实有点难。最后一步我就不会了，也许你能做出来。
ps：我不是你的老师，我不会骂你%>_<%