Question

证明函数f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4),当(x,y)→(0，0)时极限不存在

Answer 1

二元函数的极限存在是指按x，y变化的任意路径都是趋于同一极限值。
所以为了说明极限不存在只要找两个路径，极限值不同即可。
正确的一个做法：当x=y^2时，通过计算f(x,y)=1/2，即此时(x,y)→
(0,0)，极限时1/2
当x=y时，通过计算f(x,y)=x/(1+x^2)，显然此时(x,y)→
(0,0)，即x→0，f(x,y)→0
于是证完。

Answer 2

考虑动点以抛物线
y²=kx
方式趋于(0，0)
函数可以变成
k/(k²+1)
极限随着k的变化而改变，不趋向一个固定的值，
所以，原式的极限不存在。

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考虑动点以抛物线
y²=kx
方式趋于(0，0)
函数可以变成
k/(k²+1)
极限随着k的变化而改变，不趋向一个固定的值，
所以，原式的极限不存在。