Question

大学线性代数证明题，设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值

设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明-1是A的一个特征值
我是这样证明的
因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1

|A+E|
=|A+AA^T|

= |A(E+A^T)|

因为A与A的转置相似，所以A+E与A^T+E相似
|A+E|=-|A+E|

所以|A+E|=0

这样证对吗？

Answer 1

因为AAT=E，所以A为正交矩阵，且|A|<0，所以|A|=-1

|A+E|
=|A+AA^T|

= |A(E+A^T)|

这一步骤是怎么推倒的？

证明假设A特征值为λ，则A^()-1=A^t，特征值相同：λ=1/λ
λ^2=，λ=1.-1

追问

直接把A提出来，|AB|=|A||B|

Answer 2

正确。实际上用不到相似，|A+E|=...=|A(A^T+E|=|A|*|A^T+E|=-|A+E|，所以|A+E|=0。