Question

已知函数f（x）＝㏑（1＋x）－mx. （1）当m＝1时，求函数f（x）的单调递减区间； （2

）求函数f（x）的极值.
（3）若函数f(x)在区间[0,e^2-1]上恰有两个零点，求m的取值范围

Answer 1

(1)
m = 1, f(x) = ln(x + 1) - x
f'(x) = 1/(x + 1) - 1 = -x/(x + 1) = 0
x = 0
-1 < x < 0: f'(x) > 0
x > 1: f'(x) < 0, 单调递减

(2)
(i) m = 0
f(x) = ln(x + 1), f'(x) = 1/(x + 1); 在定义域x > -1内, f'(x) > 0, 无极值
(ii) m = 1
见(i), 极大值: f(0) = 0

(ii) m ≠ 0

f'(x) = 1/(x + 1) - m = (1 - m - mx)/(x + 1) = 0
x = (1 - m)/m = 1/m - 1
m < 0时, x = 1/m - 1 < -1, 在定义域外, 无极值
m > 0时, x = 1/m - 1 > -1, 在定义域内; 显然f'(x)左正右负
极大值f(1/m - 1) = ln(1/m - 1 + 1) -m(1/m -1) = ln(1/m) - (1 - m) = m - 1 - lnm

追问

大哥....你这是复制的对吗

追答

这个是正确的

追问

m > 0时, x = 1/m - 1 > -1, 在定义域内; 显然f'(x)左正右负 这个地方不太明白..我也是写到这里卡住了， 是怎么判断(-1,1/m-1)单增，(1/m-1,正无穷)单减的呢？