Question

若实数x,y满足x的平方＋y的平方－2x+4y=0，求x-2y的最大值

Answer 1

方法一：
x²+y²-2x+4y＝0
→(x-1)²+(y+2)²＝(√5)².
设x-1＝√5cosθ,y+2＝√5sinθ,则
x-2y＝(1+√5cosθ)-2(-2+√5sinθ)
＝5+√5(cosθ-2sinθ)
＝5+5cos(θ+φ) (tanφ＝2)
∴cos(θ+φ)＝1时，
所求最大值为：(x-2y)|max＝10;
cos(θ+φ)＝-1时，
所求最小值为：(x-2y)|min＝0.

方法二：
设x-2y＝t,代入条件式整理得
5y²+4ty+t²-2t＝0
△＝16t²-20(t²-2t)≥0
→t(t-10)≤0
→0≤t≤10.
∴(x-2y)|max＝10;
(x-2y)|min＝0.

方法三：
设x-2y＝λ,则原式取最值时，此直线系
与圆相切，即它与圆心(1,-2)的距离等于半径√5.
∴|1-2×(-2)-λ|/√[1²+(-2)²]＝√5
解得，t＝0或t＝10.
∴所求最大值为：(x-2y)|max＝10;
所求最小值为(x-2y)|＝0.

解法四：
依权方和不等式(或Cauchy不等式)得
x²+y²-2x+4y＝0
→5＝(x-1)²+(-2y-4)²/4
≥(x-1-2y-4)²/(4+1)
＝(x-2y-5)²/5
∴(x-2y-5)²≤25
→0≤x-2y≤10
故所求最大值为：(x-2y)|max＝10;
所求最小值为：(x-2y)|min＝0.

此外，还可以用求导数法、构造向量法、构造复数法、柯西不等式法等很多方法！

付出那么多脑筋列出多种解法目的是让楼主开阔视野，不釆纳无所谓。

Answer 2

x * x + y * y - 2x + 4y = 0 => (x - 1) * (x - 1) + (y + 2) * （y + 2） = 5 => r * r = 5;
这样就会得到一个圆，求直线x - 2y = c与这个圆的切线，可以得到两条，选择c较大的那条得到的c就是x - 2y的最大值

追问

谢谢！有没有别的求法，有关在圆内解不等式的题型，老师还没讲过。

追答

那你会求过圆的原点与直线x - 2y = c垂直的直线吗？？如果会的话就求出来，然后再求这条垂线与圆的两个交点，把这两个交点分别带入x - 2y = c，求得较大的那个c就可以了

追问

如果可以的话，我能请求你发张图片过来吗？画一下那个图，我好像没不会。谢谢！

追答