Question

已知函数f(X)=ke^x-x² （其中k∈R，e是自然对数的底数）

①若K＜0，试判断函数f(X)在区间（0，∞）上的单调性 ② 若K=2 当X∈（0，∞）时，试比较f(X)与2的大小 ③若函数f(X)有两个极值点X1,X2 (x1＜X2），求K的取值范围，并证明0＜f(x1)＜1

Answer 1

f'(x)=ke^x-2x

1)由於k<0
x>0时，f'(x)恒小於0,单调递减

2)
k=2
f(x)=2e^x-x^2
f(0)=2
f'(x)=2e^x-2x
=2(e^x-x)

g(x)=e^x
h(x)=x
g'(x)=e^x
h'(x)=1
在x正半轴
g'(x)>=h'(x)
g(0)=1,h(0)=0
且g(0)>h(0)
故g(x)>h(x)
在x正半轴上

故e^x-x>0
f'(x)=2(e^x-x)>0
f'(x)在正半轴恒大於0，f(x)单调递增
f(0)=2
所以x>0时f(x)>2

3)
ke^x=2x时有极值
有两个极值
也就是说函数p(x)=ke^x和q(x)=2x有两个交点

先考虑k>0时
ke^x有一点斜率为2
且这点坐标为 x,2x时
p(x)=ke^x和q(x)=2x相切
p'(x)=ke^x=2
p(x)=ke^x=2x
此时x=1
ke=2
k=2/e
当p(x)函数值减小，那麼和q(x)=2x有两个交点
也就是k<2/e

再考虑k<0时
这时p(x)和q(x)无论如何只有一个交点

k=0时
f(x)=-x^2,只有一个极值点

所以k的取值范围是0<k<2/e

根据刚才的分析0<x1<1，因为ke^x,2x相切时切点正好是x=1处，所以ke^x函数向下收缩得到和2x靠左侧的交点，其横坐标x1一定小於1
又因为ke^x恒大於0(我们已经结论k>0)
2x 过（0,0）
所以x1必须大於0

x1>x1^2
在x1处f(x)导数=0
ke^x1=2x1

ke^x1>2x1^2
ke^x1-x1^2>x1^2
ke^x1-x1^2>0
f(x1)>0
----------------------------------------

又
k<2/e

ke^x1<2e^(x1-1)
ke^x1-x1^2<2e^(x1-1)-x1^2

设
r(x1)=2e^(x1-1)-x1^2
r'(x1)=2e^(x1-1)-2x1

x1=1时，r'(x1)=0

0<x1<1时 e^(x1-1)>x1

因为e^(x1-1)'=e^(x1-1)
x1'=1
0<x1<1 时
x1-1<0
0<e^(x1-1)<1

在x1=1时e^(x1-1)=x1
而往左e^(x1-1)导数较小，所以说x1<1时e^(x1-1)较大

e^(x1-1)-x1>0

r(x1)=2e^(x1-1)-x1^2
在0<x1<1时单调递增
r(1)=1
所以 2e^(x1-1)-x1^2<1 (0<x1<1 时)

我们刚才有
ke^x1-x1^2<2e^(x1-1)-x1^2
故
f(x1)<1

所以
0<f(x1)<1

Answer 2

k取值茜茜b的宽度

Answer 3

k取值雪莉b的宽度