Question

如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F

如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，且BF=AC，过点D作DG∥AB交AC于点G。求证：（1）∠BAD=2∠DAC （2）GC=√2EG

Answer 1

(1) 证明：因为AB=BC
所以三角形ABC是等腰三角形
因为E是AC的中点
所以BE是等腰三角形ABC的中线，高线，角平分线
所以AE=CE=1/2AC
角BEC=90度
角ABE=角CBE=1/2角ABD
因为角BEC+角C+角CBE=180度
所以角CBE+角C=90度
因为AD垂直BC
所以角ADB=角ADC=90度
因为角ADB+角CBE+角BFD=180度
所以角CBE+角BFD=90度
所以角BFD=角C
因为BF=AC
所以三角形BFD全等三角形ACD (AAS)
所以AD=BD
DF=DC
角CBE=角DAC
所以角DAC=1/2角BAD
所以角BAD=2角DAC
(2)证明：连接DE
因为DG平行AB
所以角BAC=角DGC
角BAD=角ADG
因为角ADC=90度（已证）
所以三角形ADC是直角三角形
因为E是AC的中点
所以DE是直角三角形ADC的中线
所以AE=DE
所以角DAC=角ADE
因为角DAC=1/2角BAD（已证）
所以角ADE=1/2角ADG
因为角ADG=角ADE+角GDE
所以角ADE=角GDE
所以DE平分角ADG
所以AE/EG=AD/DG
因为AB=BC
所以角BAC=角C
所以角DGC=角C
所以DG=DC
因为DF=DC（已证）
所以DF=DG=DC
所以AD/DC=AE/EG
因为AD=BD (已证)
所以BD/DC=AE/EG
三角形ADB是等腰三角形
因为角ADB=90度
所以三角形ADB是等腰直角三角形
所以AB^2=AD^2+BD^2
所以AB=根号2倍AD
设AD=BD=a
所以AB=根号2a
因为BE平分角ABC（已证）
所以DF/AF=BD/AB=1/根号2
所以DF=a(根号2-1）
因为DF=DC（已证）
所以DC=a(根号2-1）
所以BD/DC=根号2+1
所以AE/EG=根号2+1
因为AE=CE（已证）
所以CE/EG=根号2+1
因为CE=EG+CG
所以CG/EG=根号2
所以CG=根号2EG

Answer 2

(1)AB=BC, AE=EC => BE垂直平分AC , 结合BD⊥AD => ABDE四点共圆 => ∠FBD=∠DAC , 结合 ∠FDB=∠ADC=90度，BF=AC => ΔFBD ≌ ΔCAD => BD=AD =>∠DAB=∠ABD=2∠FBD(垂直平分线)=2∠DAC
(2)连接EC,EG, 由上述ΔFBD ≌ ΔCAD，有FD=DC, 而GD//AB => ∠GDC=∠ABD=45度 => ∠GDC=∠FDG => ΔFDG ≌ ΔCDG => GC=FG 。而∠EFC=∠AFE=∠BFD=∠GCD=∠GFD => ∠DFC=∠EFG=45度 => √2EF=√2EG=FG=GC , 证毕

Answer 3

在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，且BF=AC，过点D作DG∥AB交AC于点G。求证：（1）∠BAD=2∠DAC （2）GC=√2EG