Question

已知函数f(x)=1/2x+lnx（1）求函数fx的单调区间（2）求证：当x＞1时，1/2x+lnx＜2/3x.

Answer 1

f'(x)=1/2×2x+1/x=x+1/x，因为函数定义域为x＞0所以x+1/x恒大于0，所以f'(x)在x＞0时恒＞0，所以f(x)单调递增区间为（0，+∝） (2)令g(x)=-2/3x^3+1/2x^2+lnx，所以g'(x)=-2x^2+x+1/x=(-2x^3+x^2+1)/x，因为x恒＞0所以只需考虑分子的正负分子可化为-(x-1)(2x^2+x+1)因为 2x^2+x+1＞0所以当x＞1时g'(x)＜0，当0＜x＜1时，g'(x)＞0，所以当x=1时g(x)取极大值，所以当x＞1时g(x)＜g（1）=-2/3+1/2=-1/6＜0，所以-2/3x^3+1/2x^2+lnx＜0，即1/2x^2+lnx＜2/3x^3