Question

怎么判断三元一次方程有解还是无解

什么时候是有无穷解？
什么时候无解？
ax+by+cz=r
dx+ey+fz=k
gx+hy+iz=p
各个a.b.c.d.e.f.g.h.i.r.k.p之间有什么关系？
说简单些好么,楼下那个说的矩阵完全不知道是啥- -

Answer 1

你是高中生吧，我是一大一生,矩阵我刚学完。当年我也总是有这个疑问，不过没有得到彻底解决，下面的只是我的个人经验，或许你可以试试。

高中很少有无穷解的三元一次方程，一般有解的三元一次方程可以因式分解为一个一元方程和一个二元方程，有时二元方程还可以继续因式分解为两个一元方程，而高中一般三元一次有解方程的解中会有1或2或-1或-2或0（可以代入三元方程猜测出一解），所以可以先写出一个因式（X-1)或(X-2)或(X+1)或(X+2)或X，剩下的二元一次方程可以根据已写出的一元方程和已知三元方程得出。

例如：解方程X3+2X2-4X+1=0
解：代入X=1满足方程
故X3+2X2-4X+1=(X-1)(二元方程）
设二元方程为aX2+bX+c
由X3知a=1
由三元一次方程的一次项为1可知c=-1
再由X3+2X2-4X+1=(X-1)(X2+bX-1）得出b=3

Answer 2

下列方程组中，D=0，Dx=Dy=Dz=0，并且系数矩阵和加边矩阵的秩都是2
x+y+z=3…………（1）
3x-2y+z=2………（2）
4x-y+2z=5………（3）
（3）是（1）（2）的线性组合，有（3）=（1）+（2）
可以把（1）（2）化作
x+y=3-z………（4）
3x-2y=2-z……（5）
解方程组得到x=(8-3z)/5,y=（7-2z)/5,z是任意数。
因此方程组有无穷多个解。例如z=1--->x=1,y=1。…………

至于D=0，Dx,Dy,Dz中有一个不是0，就是系数矩阵和加边矩阵的秩不相等
此时方程组无解。