Question

求sgn(xy-1)的二重积分，D为0<=x<=2,0<=y<=2

Answer 1

　　注意到
　　　sgn(x) = -1，xy<1，
　　　　　　= 0，xy=1，
　　　　　　= 1，xy>1，
把 D = D1+D2 (作图)，其中，
　　　D1 = {(x,y); xy≥1,0≤x≤2,0≤y≤2}，
　　　D2 = {(x,y); xy≤1,0≤x≤2,0≤y≤2}，
这样，
　　　∫∫(D)sgn(xy-1)dxdy
　　= ∫∫(D1)dxdy + ∫∫(D2)(-1)dxdy
　　= ∫∫(D1)dxdy - ∫∫(D2)dxdy
　　= ∫∫(D1)dxdy - [∫∫(D)dxdy - ∫∫(D1)dxdy]
　　= 2∫∫(D1)dxdy - 4
　　= 2∫[1/2,2]dx∫[1/x,2]dy - 4
　　= ……（留给你）

Answer 2