Question

地上有10只小鸟在啄食，其中任意5只鸟中至少有4只鸟在一个圆周上，问有鸟最多的一个圆周上最少有几只鸟？

Answer 1

设有鸟最多的圆上至少有l只鸟，则4≤1≤9． 首先证明，l≠4．由l≤9，必有4只鸟不在同一圆周上，过其中每3只作一个圆，共得4个圆，其余6只鸟中的每一只与上述4只鸟组成5元组，因而这只鸟必在（上述4个圆中）某一个圆上，6只鸟中必有2只在同一个圆上，从而这个圆上至少有5只鸟． 其次，如果5≤l≤8，设圆C上有l只鸟，则C外至少有两只鸟b 1 、b 2 ．对圆C上任三只鸟，其中必有两只与b 1 、b 2 共圆，设C上的b 3 、b 4 与b 1 、b 2 共圆，b 5 、b 6 与b 1 、b 2 共圆，C上第5只鸟b 7 及b 3 、b 5 ，这3只鸟中没有两只能与b 1 、b 2 共圆，矛盾．所以最少9只