Question

n是任意自然数，求证4不能整除n^2+2 考虑n分别是奇数/偶数事的情况

n是奇数的时候很显然n^2+2是奇数不能被4整除，偶数的时候呢？
可以用反证法嘛？假设4能整除n^2+2，设n^2+2=4k, 则n=√4k-2 k是正整数，观察得不是所有的k 能使n 为自然数，与题设矛盾，故命题得证。

Answer 1

用反证法来证明
证明：假设4能整除n²+2 ，则可设n²+2=4k（K为整数）
1、若n为奇数，可设n=2m-1 (m为整数）
代入n²+2=4k得4m²-4m+3=4k
即4k-4m²+4m=3
此式左边是偶数，右边是奇数，所以式子4k-4m²+4m=3不成立
与假设矛盾。
2、若n为偶数，可设n=2m (m为整数）
代入n²+2=4k得4m²+2=4k
即4k-4m²=2
即2k-2m²=1
此式左边是偶数，右边是奇数，所以式子2k-2m²=1不成立
与假设矛盾。
综上所述：无论n为任何自然数，4不能整除n²+2

追问

像我那样证可以吗？假设4能整除n^2+2，设n^2+2=4k, 则n=√4k-2 k是正整数，观察得不是所有的k 能使n 为自然数，与题设矛盾，故命题得证。

追答

这个证明不能说明问题。证明题不能用观察。

Answer 2

一、很明显，当n为奇数时，n^2＋2是奇数，不能被偶数整除，当然就不能被4整除。
二、当n为偶数时，令n＝2t，其中t是整数，得：n^2＋2＝（2t）^2＋2＝2（2t^2＋1）。
　　∵2t^2＋1是奇数，∴2t^2＋1不能被2整除，∴2（2t^2＋1）不能被4整除，
　　∴n^2＋2不能被4整除。

追问

我一开始也是这么证的，老师说这样不严谨，因为用推论p整除ab,则p整除a或p整除b的话p必须是质数。比如6不能整除8，不能整除9，但是72却可以整除6