Question

定积分计算题，求解答过程，望诸大神帮给个解答，不胜感激！（其实就是同济第六版高数课本上的例题中的最

定积分计算题，求解答过程，望诸大神帮给个解答，不胜感激！（其实就是同济第六版高数课本上的例题中的最后一步计算）

Answer 1

就是用三角代换 令θ＝tanα
定积分不好书写，给你一个不定积分的过程

令θ＝tanα，则：√（1＋θ^2）＝√［1＋（tanα）^2］＝1/cosα，　dθ＝［1/（cosα）^2］dα。

sinα＝√｛（sinα）^2/［（sinα）^2＋（cosα）^2］｝＝√｛（tanα）^2/［1＋（tanα）^2｝
＝θ/√（1＋θ^2），

∴原式＝∫｛（1/cosα）［1/（cosα）^2］｝dα
　　　＝∫［cosα/（cosα）^4］dα
　　　＝∫｛1/［1－（sinα）^2］^2｝d（sinα）。

再令sinα＝u，则：
原式＝∫［1/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［（1＋u＋1－u）^2/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［（1＋u）^2/（1－u^2）^2］du＋（1/2）∫［（1－u^2）/（1－u^2）^2］du
　　　＋（1/4）∫［（1－u）^2/（1－u^2）^2］du
　　＝（1/4）∫［1/（1－u）^2］du＋（1/2）∫［1/（1－u^2）］du＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］du
　　＝－（1/4）∫［1/（1－u）^2］d（1－u）＋（1/4）∫［（1＋u＋1－u）/（1－u^2）］du
　　　＋（1/4）∫［1/（1＋u）^2］d（1＋u）
　　＝（1/4）［1/（1－u）］－（1/4）［1/（1＋u）］＋（1/4）∫［1/（1－u）］du
　　　＋（1/4）∫［1/（1＋u）］du
　　＝（1/4）［1/（1－sinα）］－（1/4）［1/（1＋sinα）］
　　　－（1/4）∫［1/（1－u）］d（1－u）＋（1/4）∫［1/（1＋u）］d（1＋u）
　　＝（1/4）｛1/［1－θ/√（1＋θ^2）］｝－（1/4）｛1/［1＋θ/√（1＋θ^2）］｝
　　　－（1/4）ln｜1－u｜＋（1/4）ln｜1＋u｜＋C
　　＝（1/4）［1＋θ/√（1＋θ^2）－1＋θ/√（1＋θ^2）］/［1－θ^2/（1＋θ^2）］
　　　＋（1/4）ln｜1＋sinα｜－（1/4）ln｜1－sinα｜＋C
　　＝（1/4）［2θ/√（1＋θ^2）］/［（1＋θ^2－θ^2）/（1＋θ^2）］
　　　＋（1/4）ln［｜1＋θ/√（1＋θ^2）｜/｜1－θ/√（1＋θ^2）｜］＋C
　　＝（1/2）θ√（1＋θ^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋θ^2）＋θ］/［√（1＋θ^2）－θ］｜＋C
　　＝（1/2）θ√（1＋θ^2）＋（1/4）ln｜［√（1＋θ^2）＋θ］^2/（1＋θ^2－θ^2）｜＋C
　　＝（1/2）θ√（1＋θ^2）＋（1/2）ln｜θ＋√（1＋θ^2）｜＋C

追问

好难看清，要是有纸质的照个照片就好了，我正在看，之前我也做过这个代换就是还是没解出来

具体过程相当复杂呀，看来查积分表不失为好办法

Answer 2

Answer 3

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