Question

如图，已知∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：①，AE平分∠BAD，

如图，已知∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：①，AE平分∠BAD，②AE⊥DE；③AB、CD与AD的数量关系并证明

Answer 1

①
做EF⊥AD交AD于F
∵DE平分∠ADC
∴∠1=∠2
且 ∠C=∠EFA=90º
DE=DE
∴ΔECD≌ΔEFD
∴EF=EC
又EC=EB
∴EF=EB
且AE=AE
∠B=∠EFA=90º
∴ΔABE≌ΔAFE
∴∠3=∠4
∴AE平分∠BAD
②
∵ΔECD≌ΔEFD
∴∠CED=∠FED
∵ΔABE≌ΔAFE
∴∠AEB=∠AEF
∴∠AEF+∠FED=∠AEB+∠CED
∵∠AEF+∠FED+∠AEB+∠CED=180º
∴∠AEF+∠FED=90º
∴AE⊥DE
③
∵ΔECD≌ΔEFD
∴CD=DF
∵ΔABE≌ΔAFE
∴AB=AF
∴AB+CD=AF+DF=AD
即AB+CD=AD