Question

高三数学三角函数一个题目求助

已知函数f(x)=1-√(3)sin2x+2cos²x
(1)求f(x)最大值以及取得最大值时x的集合
(2)设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=1，f(A)=0，求b+c的取值范围

Answer 1

已知向量λ=(sinwx,coswx)，向量μ=(m, √2)(m>0,w>0)，记函数f(x)=向量λ*μ，其图像相邻的两条对称轴x=-3π/4，x=π/4，与其图像交于P,Q，且|PQ|=√(16+π^2)
（1）求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值
（2）在⊿ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，C=π/3，c=3，f(A-π/4)+f(B-π/4)=4√6sinAsinB
求⊿ABC的面积
（1）解析：∵向量λ=(sinwx,coswx)，向量μ=(m, √2)(m>0,w>0)
函数f(x)=向量λ*μ=msinwx+√2coswx，
设cosθ=m/√(m^2+2)，sinθ=√2/√(m^2+2)
∴f(x)= √(m^2+2)sin(wx+θ)
∵f(x)二相邻对称轴为x=-3π/4，x=π/4，与其图像交于P,Q，且|PQ|=√(16+π^2)
∴T/2=π/4+3π/4=π==>T=2π==>w=2π/T=1
(T/2)^2+(2A)^2=|PQ|^2==>(π/4+3π/4)^2+(2A)^2=16+π^2==>A=2
∴√(m^2+2)=2==>m=√2==> sinθ=√2/2==>θ=π/4
∴f(x)=2sin(x+π/4)
单调递增区：2kπ-π/2<=x+π/4<=2kπ+π/2==>2kπ-3π/4<=x<=2kπ+π/4（k∈Z）
∴f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为f(π/4)=2
(2)解析：∵在⊿ABC中，C=π/3，c=3，f(A-π/4)+f(B-π/4)=4√6sinAsinB
f(A-π/4)+f(B-π/4)=2sinA+2sinB=4√6sinAsinB
由正弦定理得2(a+b)= 4√6ab==>a^2+b^2+2ab=24(ab)^2
由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC==>a^2+b^2=9+ab
∴24(ab)^2-3ab-9=0==>ab=(1+√97)/16
∴S(⊿ABC)=1/2absinC=(1+√97)√3/64
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Answer 2

(1)f(x)=1-√3*sin2x+1+cos2x
=2*(1/2*cos2x-√3/2*sin2x)+2
=2cos(2x+π/3)+2
所以f(x)max=2+2=4，
此时2x+π/3=kπ，所以x=kπ/2-π/6 (k∈Z)
(2)f(A)=2cos(2A+π/3)+2=0，∴cos(2A+π/3)=-1
而0<A<π，∴π/3<2A+π/3<7π/3
∴2A+π/3=π，∴A=π/3，∴cosA=cos(π/3)=1/2
余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=1
∴(b+c)²-3bc=1，∴bc=[(b+c)²-1]/3
而(b+c)/2≥√bc，∴bc≤(b+c)²/4
∴[(b+c)²-1]/3≤(b+c)²/4，∴(b+c)²≤4
而b+c>a=1，∴1<b+c≤2

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