Question

已知，AB是圆O直径，AB垂直于AC，BC交圆O于D，E是AC中点，ED与AB的延长线相交于点F。

求证：（1）DE是圆O切线 （2)AB:AC=BF:DF

Answer 1

证明：（1）

连接OD，AD，OE

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

∴∠ADC=90°

∵E是AC的中点

∴DE=AE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

又∵OA=OD，OE=OE

∴△OAE≌△ODE（SSS）

∴∠ODE=∠OAE=90°

∴DE是⊙O的切线

（2）

∵∠C=∠BAD（共余角∠CAD）

  ∠CDA=∠ADB=90°

∴△CDA∽△ADB（AA）

∴AB∶AC=BD∶AD

∵∠FDB=∠FAD（弦切角等于它夹的弧所对的圆周角）

   ∠F=∠F

∴△FDB∽△FAD（AA）

∴BF∶DF=BD∶AD

∴AB∶AC=BF∶DF