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1/n(n+1)(n+2)=1/2*[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1×2×3分之1+2×3×4分之一+3×4×5分之一+4×5×6分之一+5×6×7分之一
=1/2*(1/2-1/6+1/6-1/12+1/12-1/20+1/20-1/30+1/30-1/42)
=1/2*(1/2-1/42)
=1/2*(10/21)
=5/21
1×2×3分之1+2×3×4分之一+3×4×5分之一+4×5×6分之一+5×6×7分之一
=1/2*(1/2-1/6+1/6-1/12+1/12-1/20+1/20-1/30+1/30-1/42)
=1/2*(1/2-1/42)
=1/2*(10/21)
=5/21
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用裂项法，原式=1/2×（1×2×3分之2+2×3×4分之2+3×4×5分之2+4×5×6分之2+5×6×7分之2）
=1/2×（1×2分之1-2×3分之1+2×3分之1-3×4分之1+……+5×6分之1-6×7分之1）
=1/2×（1×2分之1-6×7分之1）=5/21
=1/2×（1×2分之1-2×3分之1+2×3分之1-3×4分之1+……+5×6分之1-6×7分之1）
=1/2×（1×2分之1-6×7分之1）=5/21
参考资料： 团队：我最爱数学！
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解：1/（1*2*3）+1/（2*3*4）+1/（3*4*5）+1/（4*5*6）+1/（5*6*7）
=1/2*[1/（1*2）-1/（2*3）+1/（2*3）-1/（3*4）+1/（3*4）-1/（4*5）+1/（4*5）-1/（5*6）+1/（5*6）-1/（6*7）
=1/2*[1/（1*2）-1/（6*7）]
=1/2*10/21
=5/21
=1/2*[1/（1*2）-1/（2*3）+1/（2*3）-1/（3*4）+1/（3*4）-1/（4*5）+1/（4*5）-1/（5*6）+1/（5*6）-1/（6*7）
=1/2*[1/（1*2）-1/（6*7）]
=1/2*10/21
=5/21
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