Question

高数 试证：当X>0时， 有1/1+x<ln（1+x/x)<1/x 详细步骤和讲解

如果好 会提高悬赏

Answer 1

证明：∵x＞0
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x，x+1]连续
2）开区间（x，x+1）可导
从而，由微分中值定理知：
在开区间（x，x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]，其中，x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x<ln（1+x/x)<1/x
【说明】①ln(M/N)=lnM-lnN
②导数公式表中有的函数都可导
③不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
④观察两端分母，可得区间。

追问

怎么从两端分母看出的区间啊

追答

三步走：观察，猜想，验证。
如前所述，不等号两端的式子是：某函数求导后的结果。
首先，观察中间式子是ln（1+x/x)，变形得：ln（x+1）-lnx，可见都是对数函数，猜想是对数函数求导，记为f（u）=lnu。
以下验证。
求导得：f′(u)=1/u①

再看不等式两端，其式子分别为：1/x+1,1/x②

显然，将x与x+1分别代入①式即得②式。

追问

不好意思 在问一下 不等号两边的式子为什么是求导后的结果 怎么看出来不等式两边是不是被求到过了呢

追答

因为要用微分中值定理，即存在c∈(a,b)使得f′(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)，
所以其要领在于用端点值替换相应位置的c，而c含于f′（c）的表达式中。
你不妨再找几个例题看看，对比之后体会更有益于理解。

Answer 2

令1/x=t,则t>0,1/(1+x)<In(1+x/x)可化为t<(1+t)In(1+t),令g(t)=t-(1+t)In(1+t),g'(t)=-In(1+t)<0,故g(t)单减，g(t)>g(0)=0,不等式成立，右边可化为In(1+t)<t,令f(t)=In(1+t)-t,f'(t)=1/1+t-1<0,故f(t)>f(0)=0,故成立

追问

g(t)是单减的话 t >0 函数应该在第四象限 应该是g（t)< g(0)=0 不等式成立吧

追答

不好意思，写错了