Question

如图12， BC是半圆O的直径，点A 在半圆O上，点D是AC的中点，点E在AC上运动． 若AB=2

，tan∠ACB=12 ，请问：分别以点A、E、D为 直角顶点的等腰三角形AED存在吗？请逐一说明理由

Answer 1

∵BC是半圆O的直径，点A 在半圆O上，∴∠B AC=90°，

∵tan∠ACB=AB/AC=1/2，AB=2，D是AC的中点，

∴AC=2AB=4，AD=CD=AC/2=2，

∵tan∠ACB=1/2，∴∠ACB=26.565°，A⌒C=2∠ACB=53.13°，

A⌒C=180°－53.13°=126.87°，

∵E在弧A⌒C上，C⌒E＜A⌒C，C⌒E＜126.87°

∠DAE=（12）C⌒E，∴∠EAD＜（1/2）126.87°＜90°

∴不存在以A为直角的Rt⊿EAD，自然不会存在以A为等腰的Rt⊿EAD。

E在弧A⌒C中点时，存在以E为直角的Rt⊿EAD，

但∵∠EAD=∠DAE=（12）C⌒E=126.87°/4=31.72°＜46°，∠EAD≠45°，

∴不存在以D为为直角的等腰Rt⊿EAD。

若∠AED=90°，且AE=BE，即若存在以E为为直角的等腰Rt⊿EAD，

则延长ED交圆于F，连AF，AF为直径，过圆心O，

AF=BC=√（2²+4²）=2√5，

按相交弦定理有，ED•DF=AD•CD=4，DF=EF－AE，

AE（EF－AE）=4，AE•EF－AE²=4     （1）

AE²+EF²=AF²=20，AE²+EF²=20       （2）

（1）+（2）得，EF ²+AE•EF－24=0。

AE=DE=√2，EF=√（20－2）=3√2。

∴存在以E为为直角的等腰Rt⊿EAD。

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