Question

急急急！！什么是线性递推数列的特征方程啊

我看兔子数列的通项推导中有！！ 我想知道上面那个东西是什么啊？为什么F(n)=F(n-1) F(n-2)可以写成X^2=X-1 呢？ 请教大虾

Answer 1

在二阶差分（也叫递推）式a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0中，为了求出一阶差分式，我们总希望将原式子变形成f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))的形式，因为如果有这样的常数x1，x2使式子成立，那么，数列{f(n+1)-x1*f(n)}就是一个公比为x2的等比数列了。 同时，f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))还可写成：f(n+2)-x2*f(n+1)=x1*(f(n+1)-x2*f(n))，也可得到，数列{f(n+1)-x2*f(n)}也是一个公比为x1的等比数列。 这样，就可方便地不求出通项式f(n). 注意到，要将a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0写成f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))，必定会有x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。利用二次方程根与系数的关系，可知x1,x2恰为ax^2+bx+c=0的两根。可见，差分方程af(n+2)+bf(n+1)+cf(n)=0的通项式与二次方程ax^2+bx+c=0的根具有紧密的联系。我们就将这个二次方程称做差分方程的特征方程。 如，斐波那契数列,它满足f(1)=f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n),那么差分式的特征方程为x^2-x-1=0,解得x1=(1+根号5）/2，x2=(1-根号5)/2,(x1+x2=1,x1*x2=-1). 那么{f(n+1)-x1*f(n)}是等比数列，公比为x2,那么可写出f(n+1)-x1*f(n)=(f(2)-x1*f(1))*x2^(n-1)=(1-x1)*x2^(n-1)=x2^n, 同理还可写出f(n+1)-x2*f(n)=x1^n. 两式相减，就有：(x1-x2)f(n)=x1^n-x2^n, f(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2)=((1+根号5)^n-(1-根号5)^n)/(2^n*根号5). 线性递推数列的特征方程是求解通项式常用的方法，关键是要掌握要领。