Question

常数1的傅立叶变换求解过程（极限法）

看到求常数1的傅里叶变换的过程，利用构造函数法：由于1是双边指数函数在a->0时的值，因此通过对双边指数函数的傅里叶变换求极限即可得到1的傅里叶变换，可是为什么还要个积分呢？如下图

请大侠指教， 不胜感激！
请只是针对这种解法给出解释，关于用傅里叶变换的对称性或冲击函数的傅里叶逆变换值1/2pi及傅里叶变换的线性都不用说了，想知道的只是上面这种方法的解释，谢谢！

Answer 1

δ(t)是单位冲激响应，当a趋于0时，F(jw)在w=0时为无穷大，在w≠0时为0，但不是单位冲激响应。

傅立叶变换对有多种定义形式，如果采用下列变换对，即：

F(ω)=∫(∞,-∞) f(t)e^(-iωt)dt

f(t) = (1/2π) ∫(∞,-∞) F(ω)e^(iωt)dω

令： f(t)=δ(t)，

那么： ∫(∞,-∞) δ(t)e^(-iωt)dt = 1

而上式的反变换：(1/2π) ∫(∞,-∞)1 e^(iωt)dt = δ(t) //：Dirac δ(t) 函数；

从而得到常数1的傅里叶变换等于：2πδ(t)

扩展资料；

f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：

在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

参考资料来源：百度百科-傅立叶变换

Answer 2

δ(t)是单位冲激响应，定义为

当a趋于0时，F(jw)在w=0时为无穷大，在w≠0时为0，但不是单位冲激响应。

追问

你可能没明白我的问题吧。你说的那些我都明白，但我的问题是这样的：
常数1不满足绝对可积的条件，但可以通过构造函数f(t)来进行傅氏变换，即当f(t)中的a->0时，f(t)=1,这样对应的，当a->0时，f(t)的傅氏变换F(w)就应该是1的傅氏变换，这些都没问题，可是问题是最后为什么还要对这个极限进行积分，而且结果是积分值和极限值的乘积，这才是问题。

追答

问题在于你把F(w)的极限值无穷大理解成了δ(w)，事实上这个无穷大不是单位冲击响应，而是积分值和单位冲击响应的乘积
你不能把在0处值为无穷大、非0处值为零的函数都定义为δ(t)，注意δ(t)的定义