Question

（2013年四川泸州10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD 2

（2013年四川泸州10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD 2 =CA?CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA= ，求BE的长．

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Answer 1

解：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△DBC， ∴ ，即CD 2 =CA?CB。 （2）证明：如图，连接OD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠1+∠3=90°。 ∵OA=OD，∴∠2=∠3。∴∠1+∠2=90°。 又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°。∴OD⊥OA。 又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。 （3）如图，连接OE， ∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB。 ∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°。∴∠ABD=∠OEB。∴∠CDA=∠OEB。 ∵tan∠CDA= ，∴ 。 ∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴ 。 ∵BC=12，∴CD=8。 在Rt△CBE中，设BE=x， ∴（x+8） 2 =x 2 +12 2 ，解得x=5。 ∴BE的长为5。

（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论。 （2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可。 （3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可。