Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；(2)设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出雹陪橡∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而乱塌说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2） 2 +（x-3） 2 =5 2 ，求出AD=x=6． 试题解析：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF． ∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又源旁∠BAC=45°， ∴∠EAF=90°． 又∵AD⊥BC ∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°． ∴四边形AEGF是矩形， 又∵AE=AD，AF=AD ∴AE=AF． ∴矩形AEGF是正方形． （2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x． ∵BD=2，DC=3 ∴BE=2，CF=3 ∴BG=x-2，CG=x-3 在Rt△BGC中，BG 2 +CG 2 =BC 2 ， ∴（x-2） 2 +（x-3） 2 =5 2 ． 化简得，x 2 -5x-6=0 解得x 1 =6，x 2 =-1（舍去） 所以AD=x=6． 考点:1. 翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.正方形的判定.