Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F ， M 是椭圆上的任意点，| MF |的最大值和

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F ， M 是椭圆上的任意点，| MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以 y = x 为轴的对称点 M 1 和 M 2 ，且| M 1 M 2 |= ，试求椭圆的方程

Answer 1

椭圆方程为：  =1.

| MF | max = a + c ,| MF | min = a － c ,则( a + c )( a － c )= a 2 － c 2 = b 2 , ∴ b 2 =4,设椭圆方程为                                       ① 设过 M 1 和 M 2 的直线方程为 y =－ x + m                                  ② 将②代入①得：(4+ a 2 ) x 2 －2 a 2 mx + a 2 m 2 －4 a 2 ="0                             " ③ 设 M 1 ( x 1 , y 1 )、 M 2 ( x 2 , y 2 ), M 1 M 2 的中点为( x 0 , y 0 ), 则 x 0 =  ( x 1 + x 2 )= , y 0 =－ x 0 + m = . 代入 y = x ,得 , 由于 a 2 ＞4,∴ m =0,∴由③知 x 1 + x 2 =0, x 1 x 2 =－ , 又| M 1 M 2 |= , 代入 x 1 + x 2 , x 1 x 2 可解 a 2 =5,故所求椭圆方程为：  =1.