在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a．（1）若a=2，求证：AE⊥...
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a．（1）若a=2，求证：AE⊥PC；（2）若∠PDC=2π3，求四棱锥E-ABCD的体积．
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（1）证明：∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，
PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a=2，
∴AE⊥PB，PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PE，
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．
（2）解：由已知得AD=
＝
，AC=
=
，
∴PD=
，PC=
，DC=1，
∵∠PDC=
，
∴cos
=
=
PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a=2，
∴AE⊥PB，PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PE，
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．
（2）解：由已知得AD=
| 1+1 |
| 2 |
| 4+1 |
| 5 |
∴PD=
| a2+2 |
| a2+5 |
∵∠PDC=
| 2π |
| 3 |
∴cos
| 2π |
| 3 |
| PD2+DC2?PC2 |
| 2PD?PC |
| ?1 | |
