Question

已知数列{an}满足：a1=12，an=4an-1+1（n≥2）．（1）求a1+a2+a3；（2）令bn=an+13，求证数列{bn}是等比

已知数列{an}满足：a1=12，an=4an-1+1（n≥2）．（1）求a1+a2+a3；（2）令bn=an+13，求证数列{bn}是等比数列；（3）求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a₂=4a₁+1=4×

1

2

+1=3，
a₃=4×3+1=13，
∴a₁+a₂+a₃=

1

2

+3+13＝

33

2

．
（2）∵a₁=

1

2

，a_n=4a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+

1

3

=4a_n-1+1+

1

3

=4（a_n-1+

1

3

），
∴

an+ 1 3

an?1+ 1 3

=4，a1+

1

3

＝

1

2

+

1

3

＝

5

6

，
∵b_n=a_n+

1

3

，∴数列{b_n}是首项为

5

6

，公比为4的等比数列．
（3）∵数列{b_n}是首项为

5

6

，公比为4的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=

5 6 (1?4n)

1?4

=

5

18

(4n?1)．