Question

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=12n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2=n（1×2×3-0×1×2）2×3=x（2×3×4-1×2×3）3×4=n（3×4×5-2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算：（1）1×2+2×3+…+100×101=______；（直接写出结果）（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

Answer 1

（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=

1

3

×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=

1

3

×100×101×102=343400；

（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2）

1

3

n（n+1）（n+2）；（3）

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．