如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，AD=3CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，AD=3CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．...
如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，AD=3CD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
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（1）连接OC，BC，
∵AC=CD，OA=OC，
∴∠A=∠D，∠A=∠OCA，
∴∠A=∠D=∠OCA，
∴△OAC∽△CAD，
∴AC：AD=OA：AC，
∵AD=
CD，
∴OA：OC=1：
，
∵AB=2OA，
∴
=
，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，且cos∠A=
，sin∠ABC=
，
∴∠A=∠ACO=∠D=30°，∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°，
即OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为2，
∴OC=2，
在Rt△OCB中，∠D=30°，
∴CD=
=2
，
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=
×2×2
∵AC=CD，OA=OC，
∴∠A=∠D，∠A=∠OCA，
∴∠A=∠D=∠OCA，
∴△OAC∽△CAD，
∴AC：AD=OA：AC，
∵AD=
| 3 |
∴OA：OC=1：
| 3 |
∵AB=2OA，
∴
| AC |
| AD |
| ||
| 2 |
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，且cos∠A=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴∠A=∠ACO=∠D=30°，∠ABC=60°，
∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°，
即OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为2，
∴OC=2，
在Rt△OCB中，∠D=30°，
∴CD=
| OC |
| tan30° |
| 3 |
∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=
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